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【６】数量化�U類

　説明変数が質的データで与えられ、この質的データから、質的データである外的基準を求める方法。説明変数が量的データで与えられているときには、判別分析があるが、説明変数が質的データで与えられるときに、いくつかの群に判別する方法が数量化�U類である。

 ６人の生徒について、英語と数学（アイテム）の好き・嫌い（カテゴリ）のアンケートをとり、そのアンケートの結果と入学試験に合格したか不合格であったかの結果が下の表のようになったとする。

 

標本Ｎｏ	英語		数学		合否
	好き	嫌い	好き	嫌い
１ ２ ３ ４ ５ ６	ﾚ ﾚ ﾚ     ﾚ	ﾚ ﾚ	ﾚ ﾚ	ﾚ ﾚ ﾚ ﾚ	合 合 合 否 否 否

 

〈１〉判別式を求める。

 数量化�T類同様に、各アイテムの各カテゴリについて、該当有りは１、該当無しは０の 数量を与える。

    ダミー変数として

                         　 　

            ｘi(jk)　 ＝

                         　　

 

このダミー変数を使用して上の表を書き換えると 標本Ｎｏ	アイテム１ 英語		アイテム２ 数学		合否 (外的基準)
	ｘ11	ｘ12	ｘ21	ｘ22
１ ２ ３ ４ ５ ６	１ １ １ ０ ０ １	０ ０ ０ １ １ ０	１ １ ０ ０ ０ ０	０ ０ １ １ １ １	合 合 合 否 否 否

 

 説明変数は、数量化により質的データに量的データを与える。結果の合否は、質的データ（区分データ）である。量的データと質的データの関係を表すものとして相関比（η）がある。相関比（η）は、級間変動÷全変動で与えられる。

　いま、各カテゴリをｘ₁₁・ｘ₁₂・ｘ₂₁・ｘ₂₂とし、これらのカテゴリから求められる合成変量（以下判別得点と呼ぶことにする）をＹとすると、Ｙ＝ａ₁₁･ｘ₁₁＋ａ₁₂･ｘ₁₂＋ａ₂₁･ｘ₂₁＋ａ₂₂･ｘ₂₂

 この式を使用して、実際に各標本の判別得点を求めると次にような表になる。

 

 

 

 数量化�T類と同様にダミー変数間に、ｘ_i(11)＋ｘ_i(21)＝ｘ_i(21)＋ｘ_i(22)＝１の関係があるので、このままではａij を求めることができない。このために数量化�U類では、通常ａi1＝０とする。（ａ₁₁＝ａ₂₁＝０）

 判別得点から相関比を求め、相関比が最大になるようなａij を求める。相関比が最大になれば、２群が最もよく区分されているといえる。相関比（η）は、全変動をＳ_T、級間変動をＳ_B とすると  η² ＝Ｓ_T÷Ｓ_B で与えられる。

�@全変動を求める。

　　全変動は、各データが全平均からどれくらいバラついているかである。

   

�A級間変動を求める。

　級間変動は、１群の平均が全平均からどれくらいバラついているかと、２群の平均が全平均からどれくらいバラついているかの合計である。

 

 

 

この判別式から判別得点を求めると、下の表のようになる。

 

群	標本Ｎｏ	アイテム１		アイテム２		判別得点 Ｙ	平　均
		英語		数学
		ｘ11	ｘ12	ｘ21	ｘ22
合 格	１ ２ ３	１ １ １	０ ０ ０	１ １ ０	０ ０ １	0 0 0.707	0.2356
不 合 格	４ ５ ６	０ ０ １	１ １ ０	０ ０ ０	１ １ １	1.414 1.414 0.707	1.178
						全 平 均	0.707

  この時相関比は

　　　

 

〈２〉行列を使用して判別式を求める。

      相関比をηとすると

    

  例題のような２群の判別の時を考える

	係数	ａ12	ａ22	判別得点 Ｙij	標本数
	ｶﾃｺﾞﾘ	ｘ12	ｘ22
１   群	標 本	０ ０ ０	０ ０ １	Ｙ11 Ｙ12 Ｙ13	ｎ1
	計	０	１	Ｙ1
	平均
２   群	標 本	１ １ ０	１ １ １	Ｙ21 Ｙ22 Ｙ23	ｎ2
	計	２	３	Ｙ2
	平均
総計	合計	２	４	Ｙ0
	平均				ｎ0

   　　　　　　　　　      ※合格群：１群      不合格群：２群

 

 

 

　

 

 

 

　　

 

〈３〉カテゴリ数量の基準化           

   数量化�U類では、判別式を得るにあたり、第１カテゴリに対応する数量をａi1＝０（i=1,2…）として求めているので、この結果ａ₁₁＝０、ａ₂₁＝０ となるので、各アイテム内のカテゴリ数量の平均が０になるように基準化を行う。

 

　Ｙ＝-0.2357ｘ₁₁＋0.4713ｘ₁₂−0.4713ｘ₂₁＋0.2357ｘ₂₂ となる。

 この基準化した判別式を用いて、それぞれの標本の判別得点を求めて表にすると

 

群	標本No	アイテム１（英語）		アイテム２（数学）		判別得点 Ｙ	平均
		ｘ11	ｘ12	ｘ21	ｘ22
合 格	１ ２ ３	-0.2357 -0.2357 -0.2357	0 0 0	-0.4713 -0.4713 0	0 0 0	-0.707 -0.707 0.2357	-0.471
不 合 格	４ ５ ６	0 0 -0.2357	0.4713 0.4713 0	0 0 0	0.2357 0.2357 0.2357	0.707 0.707 0	0.471
	合計	-0.943	0.943	-0.943	0.943
	合計	０		０
	平均	０		０

 

〈４〉外的基準に与えるアイテムの影響力について

　どのアイテムが一番外的基準に影響を与えているかを調べるには、レンジ（範囲）・単相関係数・偏相関係数をみるようにする。外的基準に与える影響力の大きいアイテムほど重要なアイテムであるといえる。

（１）レンジ（範囲）を調べる。

　数量化�T類と同様に、各アイテム内の基準化されたカテゴリ数量の「最大値−最小値」をレンジ（範囲）という。レンジの大きいアイテムほど外的基準に与える影響が大きいといえる。

 

標本Ｎｏ	アイテム１(英語)	アイテム２(数学)
１ ２ ３	-0.2357 -0.2357 -0.2357	-0.4713 -0.4713 0.2357
４ ５ ６	0.4713 0.4713 -0.2357	0.2357 0.2357 0.2357
レンジ	0.707	0.707

 

  レンジを求めると

　　　　　アイテム１… 0.4713-(-0.2357)=0.707

          アイテム２… 0.2357-(-0.4713)=0.707

   アイテム１・アイテム２ともにレンジは 0.707 であり、アイテム１・アイテム２ともにレン　 ジからみると外的基準に与える影響力差はないといえる。

 

（２）各アイテムと外的基準との間の単相関係数を調べる。

 外的基準は、「合格」「不合格」といった質的データであるから、この外的基準に対して数量を与える。外的基準が２群であれば、よく２群を区別できるように「合格」に対して「−１」を与え、また「不合格」に対して「１」を与えると次のような表となる。

 

標本Ｎｏ	アイテム１(英語) ｘ1	アイテム２(数学) ｘ2	外的基準 ｙ
１ ２ ３ ４ ５ ６	-0.2357 -0.2357 -0.2357 0.4713 0.4713 -0.2357	-0.4713 -0.4713 0.2357 0.2357 0.2357 0.2357	−１(合格) −１(合格) −１(合格) １(不合) １(不合) １(不合)

 

  アイテム１をｘ₁、アイテム２をｘ₂、外的基準をｙ、またアイテム１と外的基準との単相関係数をｒ_1y、アイテム２と外的基準との単相関係数をｒ_2yとすると、それぞれの単相関係数は

       

 

 それぞれの説明変量と外的基準との単相関係数についても、アイテム１とアイテム２は同　　　じであり、同等の影響を与えている。

 なお、説明変量間でお互いに高い相関が認められるときには、多重共線性を示すので、その時にはどちらか一方の説明変量を落として判別式を求めるようにする必要がある。

 いまアイテム１とアイテム２の間の相関係数を求めると、ｒ₁₂＝0.5であり、それほど高い相関はないと認められるので、多重共線性はないといえる。

 

（３）各アイテムと外的基準との偏相関係数を調べる。

　　　数量化�T類と同様にして、各説明変量と外的基準との偏相関係数を求める。

　　　単相関行列をＲとすると